Stoll Model

Summary

  • Stoll (1978) 모델은 bid/ask spread의 존재만 증명하였던 Garman 모델과 달리 딜러의 utility 함수를 이용하여 bid/ask spread 값을 정량적으로 도출해 낸 모델입니다.
  • 이 모델에서는 딜러를 자신이 원하는 최적 포트폴리오를 가진 investor로 가정하고 딜러가 낸 quote가 체결이 되어 원래의 최적 포트폴리오에서 벗어나게 되어도 최종 시간에서의 expected utility는 최적 포트폴리오의 경우와 같아지도록 bid/ask 가격을 설정합니다.
  • 본 글에서는 최대한 Stoll의 original paper의 기호를 따르도록 노력하였습니다. 요즘의 notation 방법과 조금 달라서 혼선이 있을 수 있습니다. 자세한 것을 원하시면 original paper를 참조하세요
  • 그리고 Stoll의 original paper 에는 initial trading account 즉, 딜러의 현재 포지션에 의한 영향을 고려하였으나 본 summary에서는 이를 생략하였습니다.

Optimal Portfolio

  • 딜러는 Markowiz 의 최적 포트폴리오 이론에 따른 최적 포트폴리오를 가지고 있다고 가정합니다.
    • 무위험 수익률을 $R_f$, 딜러가 생각하는 market portfolio $E$ 가 존재한다고 가정. 따라서 $R_f$$E$ 를 연결하는 capital market line 이 존재함
    • 딜러가 가진 utility function $U$ 와 capital market line 의 접점에서 optimal portfolio $N$ 이 결정됨
  • 이 때 다음과 같은 수익률 notation을 사용합니다.
    • $\tilde{R}_e$ : market portfolio $E$ 의 최종(terminal) 수익률. random value. 기대 수익률은 $R_e$, 변동성은 $\sigma_e$
    • $\tilde{R}^{\ast}$ : optimal portfolio $N$ 의 최종(terminal) 수익률. random value. 기대 수익률은 $R^{\ast}$, 변동성은 $\sigma^{\ast$
  • 포트폴리오의 가치에 대해서는 다음과 같은 notation을 사용합니다.
    • $W_0$ : optimal portfolio 의 최초 가치
    • $\tilde{W}^{\ast}$ : optimal portfolio 의 최종(terminal) 가치. random value.
(1)
\begin{align} \tilde{W}^{\ast} = W_0 ( 1 + \tilde{R}^{\ast} ) \end{align}

Market Making

  • Stoll 모델은 독점적 딜러가 존재하는 딜러마켓을 가정합니다. 따라서 이 딜러는 개별 주식에 대해 bid/ask price 를 quote로 제시합니다.
  • 주식 i 에 대해 bid order가 체결된 경우를 가정하겠습니다. 이 경우 딜러는 기존 포트폴리오 이외에 주식 i 를 매수하게 됩니다. 이 주식에 대해 다음과 같은 수익률을 가정합니다.
    • $\tilde{R}_i$ : 주식 $i$ 의 최종(terminal) 수익률. random value. 기대 수익률은 $R_i$, 변동성은 $\sigma_o$
  • 이 주식의 초기 "true value" 즉, mid price 로 계산한 초기 가치는 $Q_i$ 이지만 mid-bid spread로 인한 추가 마진을 $C_i$ 만큼 주고 있었다고 가정합니다. 이 $C_i$ 가 우리가 구하려는 값입니다.
  • 이 거래로 인해 변경된 포트폴리오의 최종 가치는 다음과 같아집니다.
(2)
\begin{align} \tilde{W} = W_0 ( 1 + \tilde{R}^{\ast} ) + ( 1 + \tilde{R}_i ) Q_i - ( 1 + R_f ) (Q_i - C_i) \end{align}

Indifference Prices

  • Stoll 모델에서는 최초의 최적 포트폴리오와 거래가 발생한 이후의 변경된 포트폴리오가 최종시간에서의 유틸리티 값의 기대값만 같다면 딜러는 상관하지 않는다고 가정합니다. 이러한 bid/ask price를 indifference prices 라고 합니다.
  • 이 방법은 기대값만을 본다는 면에서 일종의 risk-neutral pricing 방법으로 볼 수 있습니다. 다만 가치 그 자체가 아니라 가치에 대한 utility를 따집니다.
(3)
\begin{align} E[U(\tilde{W}^{\ast})] = E[U(\tilde{W})] \end{align}

Utility Function

  • Stoll 모델에서는 특정한 utility function을 정하지는 않지만 다음과 같은 수식이 성립한다고 가정합니다.
  • 이 가정들은 exponential CARA (constant absolute risk aversion) 모델을 사용하는 경우 coefficient가 작으면 성립합니다
(4)
\begin{eqnarray} U^{''}(\bar{W}^{\ast}) = U^{''}(\bar{W}) \end{eqnarray}
(5)
\begin{eqnarray} \dfrac{U(\bar{W}) - U(\bar{W}^{\ast})}{U^{'}(\bar{W}^{\ast})} = \bar{W} - \bar{W}^{\ast} \end{eqnarray}
  • 다만 utility 의 parameter로서 다음과 같은 z 값을 정의 합니다
(6)
\begin{eqnarray} z = - \dfrac{U^{''}(\bar{W}^{\ast}) W_0 }{ U^{'}(\bar{W}^{\ast})} \end{eqnarray}

Derivation

  • bid/ask 의 실제 유도과정은 수식적입니다. 결론만 알고 싶으시면 skip 하셔도 무방할 것 같습니다.
  • 일단 terminal time에서의 expected value 즉, mean 을 기준으로 utility function 을 2차 테일러 시리즈 전개하면
(7)
\begin{eqnarray} E\left[ U(\bar{W}^{\ast}) + U^{'}(\bar{W}^{\ast}) ( {W}^{\ast} - \bar{W}^{\ast} ) + \dfrac{1}{2}U^{''}(\bar{W}^{\ast}) ( {W}^{\ast} - \bar{W}^{\ast} )^2 \right] = \\ E\left[ U(\bar{W}) + U^{'}(\bar{W}) ( {W} - \bar{W} ) + \dfrac{1}{2}U^{''}(\bar{W}) ( {W} - \bar{W} )^2 \right] \end{eqnarray}
  • 여기에 수익률에 대한 앞서의 notion을 적용하면,
(8)
\begin{eqnarray} U(\bar{W}^{\ast}) + \dfrac{1}{2}U^{''}(\bar{W}^{\ast}) W_0^2 \sigma_{\ast}^2 = \\ U(\bar{W}) + \dfrac{1}{2}U^{''}(\bar{W}) \left( W_0^2 \sigma_{\ast}^2 + Q_i^2 \sigma_i^2 + 2 W_0 Q_i \text{cov}(R^{\ast}, R_i) \right) \end{eqnarray}
  • 여기에 utility에 대한 앞서의 notion을 적용하면,
(9)
\begin{eqnarray} \dfrac{1}{2} \dfrac{z}{W_0} \left( Q_i^2 \sigma_i^2 + 2 W_0 Q_i \text{cov}(R^{\ast}, R_i) \right) - ( \bar{W} - \bar{W}^{\ast} ) = \\ \dfrac{1}{2} \dfrac{z}{W_0} \left( Q_i^2 \sigma_i^2 + 2 W_0 Q_i \text{cov}(R^{\ast}, R_i) \right) - ( Q_i (\bar{R}_i - R_f) + C_i (1 + R_f)) = 0 \end{eqnarray}
  • optimal portfolio 에 대한 utility 정의에서
(10)
\begin{eqnarray} \text{cov}(R^{\ast}, R_i) = \dfrac{\bar{R}_i - R_f}{z} \end{eqnarray}

Bid/Ask spread

  • 위의 수식을 모두 정리하면 bid spread ratio는 다음과 같습니다.
(11)
\begin{eqnarray} \dfrac{C_i}{Q_i} = c_i = \dfrac{1}{1 + R_f} \dfrac{1}{2} \dfrac{z}{W_0} \sigma_i^2 Q_i \end{eqnarray}
  • 여기에서 보통은 무위험 이자률을 무시하고 다음과 같은 수식을 이야기 합니다.
(12)
\begin{eqnarray} c_i = \dfrac{1}{2} \dfrac{z}{W_0} \sigma_i^2 Q_i \end{eqnarray}
  • 여기에 따르면 bid/ask spread 는
    • 거래 대금에 비례
    • 변동성의 제곱에 비례
    • 딜러의 risk averse coefficient z 에 비례
    • 초기의 최적 포트폴리오 값에 반비례

하게 됩니다.