Garman Model

소개

Garman 모델은 Inventory Model 초기의 연구로 quote-driven market에서 bid/ask price의 성립 구조와
dealer's ruin을 피하기 위해 bid/ask spread가 생길 수 밖에 없는 이유를 설명합니다.

참고 문헌

  • OHara, chapter 2. pp.14 ~ 24

기본 가정

Garman 모델에서 가정하는 시장 구조는 quote-driven market 입니다. 가격 쿼트를 내고, 주문을 받아주고, 청산을 해주는 독점적 단일 market maker(single monopolistic market maker who set price, receives all orders, and clear trades, 혹은 딜러)와 트레이더 간에 매매가 발생합니다. market maker는 매도가격과 매수가격을 지정할 수 있으며 물량은 제한이 없습니다. ( $P_a$ : 매도가격 (ask price), $P_b$ : 매수가격 (bid price) ) 트레이더는 매도가격에 매수하거나 매수가격에 매도할 수 있지만 한 번에 1개의 주식만 매매할 수 있습니다.

Dealer's Ruin

Gambler's Ruin 이라는 말은 들어보셨을 것입니다. 내기에서 계속 패배한 결과, 더 이상 베팅할 현금이 없어지는 경우(bankruptcy)를 말합니다. 딜러에게도 유사한 Dealer's Ruin이 있습니다.
딜러(마켓 메이커)의 경우는 현금이 없어지는 경우에 추가하여 매도할 주식이 없어지는 경우도 (inventory failure) 더 이상 시장 조성이 불가능하게 됩니다.
Garman 모델에서 딜러의 목표는 (1) dealer's ruin 사태를 피하면서 (2) 단위 시간당 수익을 극대화시키는 것입니다.

Stochastic Orderflow

딜러의 문제 중 하나는 orderflow가 stochastic 하다는 점입니다. 보통 orderflow는 매수와 매도를 각각 주문 시간 간격이 exponential 분포를 가지는 Poisson Process로 모델링합니다.
즉 하나의 매수 주문이 발생하고 다음 번 하나의 매수 주문이 발생하기까지의 시간은 확률변수(random variable)입니다. 주로 arrival rate $\lambda$ 라는 단일 파라미터를 가지는 exponential 분포를 가정하나 복잡한 모델에서는 더 많은 파라미터들을 가지는 Weibull 분포나 Gamma 분포를 사용하기도 합니다.

또한 orderflow, 보다 구체적으로는 order arrival rate $\lambda$ 는 가격에 dependent 합니다. dealer sell (trade buy) order arrival rate $\lambda_a(P_a)$ 는 딜러의 매도가격 $P_a$ 가 싸질수록 커지고, 반대로 deal buy (trader sell) order arrival rate $\lambda_b(P_b)$ 는 딜러의 매수가격 $P_b$ 가 비싸질수록 커집니다.

dealer's ruin을 막기위해 일단 포지션을 일정하게 유지하려면 매수와 매도의 order arrival rate이 같도록 즉,

(1)
\begin{align} \lambda_a(P_a) = \lambda_b(P_b) \end{align}

이 되도록 $P_a$$P_b$ 를 설정해야 합니다. 주어진 $\lambda = \lambda_a(P_a) = \lambda_b(P_b)$ 에 대한 $P_a$$P_b$ 는 아래의 그림과 같이 찾을 수 있습니다.

최종적으로 딜러는 이 조건을 만족하면서 이익이 최대가 되는 $P_a$$P_b$ 를 찾아야 합니다.

(2)
\begin{align} \max P_a \lambda_a(P_a) - P_b \lambda_b(P_b) \end{align}
pub?id=1Ch4JzcwL7x1KzURCifDauyfdP8jmj0mUpBzfCLiVzmY&w=960&h=500

Stochastic Equations for inventories and state probabilities

이 모델을 수학적으로 서술하면 stock inventory $I_s(t)$ 와 cash inventory $I_c(t)$

(3)
\begin{equation} I_s(t) = I_s(0) + N_b(t) - N_a(t) \end{equation}
(4)
\begin{equation} I_c(t) = I_c(0) + P_a N_a(t) - P_b N_b(t) \end{equation}

여기서 $N_a$$N_b$$\lambda_a$$\lambda_b$ 를 arrival rate으로 가지는 Poisson process입니다.

그리고 $R_k(t)$$I_s(t) = k$ 일 확률, $Q_k(t)$$I_c(t) = k$ 일 확률이라고 하면
다음과 같이 근사화가 가능합니다.

(5)
\begin{align} \dfrac{\partial R_k(t)}{\partial t} = R_{k-1} \lambda_a + R_{k+1} \lambda_b - R_k ( \lambda_a + \lambda_b ) \end{align}
(6)
\begin{align} \dfrac{\partial Q_k(t)}{\partial t} = Q_{k-1} \lambda_a P_a + Q_{k+1} \lambda_b P_b - Q_k ( \lambda_a P_a + \lambda_b P_b) \end{align}

$k = 0$ 에 대해 (dealer's ruin이 발생하는 경우) 이 값들은 다음과 같이 수렴합니다.

(7)
\begin{align} \lim_{t \rightarrow \infty} R_0(t) = \begin{cases} \left( \dfrac{\lambda_a}{\lambda_b} \right)^{I_s(0)} & \text{if} \; \lambda_a < \lambda_b & 1 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}
(8)
\begin{align} \lim_{t \rightarrow \infty} Q_0(t) = \begin{cases} \left( \dfrac{\lambda_b P_b}{\lambda_a P_a} \right)^{I_c(0)} & \text{if} \; \lambda_a P_a > \lambda_b P_b & 1 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}

따라서 dealer's ruin이 발생할 확률을 1 보다 작게 만들기 위해서는

(9)
\begin{align} \lambda_a P_a > \lambda_b P_b \end{align}
(10)
\begin{align} \lambda_a < \lambda_b \end{align}

이 성립해야 하고 이를 위해서는

(11)
\begin{equation} P_a > P_b \end{equation}

즉 매도 가격이 매수가격보다 커야합니다.

Unrealistic Assumptions

  • Garman 모델은 여러가지 비현실적인 가정을 가지고 있습니다. 딜러의 결정이 현재 포지션을 참조하지 않고 (리스크 중립), 무한시간후의 수렴 포지션만을 고려하도록 되어 있으며, informed trader의 전략적인 행동도 포함되지 않습니다. Garman 이후의 Stoll 모델 등은 딜러의 리스크 특성을 추가하여 모델을 보완하였습니다. Stoll 모델 등에 대해서는 차후에 설명토록하겠습니다.