CMSW 1981 Model

문헌

  • Title: Transaction Cost, Order Placement Strategy, and Existence of the Bid-Ask Spread
  • Authors: K.J.Cohen, S.F.Maier, R.A.Schawrtz, D.K.Whitcomb
  • Journal of Political Economy, Vol. 89, No. 2, Apr., 1981

요약

Garman, Ho & Stoll 등 초기 시장 미시구조 논문들은 확률적 주문 흐름(stochastic order flow)이 매수 매도 스프레드를 유발시킬 수 있다는 것을 수학적으로 보였지만 모두 독점적 시장 조성자가 존재하는 호가 중심 시장을 기반으로 하였다. 반면 현대의 시장은 대부분 다수의 유동성 공급자가 존재하는 경쟁 형태의 주문 중심 시장이다. CMSW 모형은 지정가 주문과 시장가 주문으로 형성되는 주문 중심 시장에서 어떤 메카니즘을 통해 매수 매도 스프레드가 존재하게 되는지를 알아내려고 한 초기 시도 중의 하나이다.

CMSW가 말하는 논리의 흐름은 다음과 같다.

  1. 호가가 jump process(구체적으로는 compound Poisson process)를 따르면 최우선 매수호가가 아무리 최우선 매도호가에 가까이 접근해도 체결확률이 1보다 작아진다.
  2. 따라서 매수호가에 따른 체결확률 분포는 최우선 매도가에서 jump를 가진다.
  3. 또한 매수호가에 따른 체결확률 분포는 최우선 매도가 아래에서 concave하다
  4. 이러한 체결확률 분포를 고려한 지정가 주문의 효용성은 최우선 매도가 미만의 특정 가격에서 최대가 되거나 최우선 매도가에서 최대가 되는 두 가지 경우가 발생한다.

지정가 주문의 체결 확률

지정가 주문 시장에서 특정한 지정가 주문이 체결될 확률은 최우선 매도호가가 그 지정가 아래로 내려올 확률이다. 따라서 최우선 매도호가를 결정하는 stochastic process에 의해 지정가에 따른 체결확률 분포를 구할 수 있다. CMSW는 체결확률 분포가 다음과 같은 모양을 가지게 된다고 한다.

  1. 매수 지정가가 최우선 매도호가에 이를 때까지는 매수지정가가 증가할수록 체결확률이 계속 증가한다.
  2. 매수 지정가가 최우선 매도호가 이상이면 체결확률은 모두 1이다.
  3. 매수 지정가가 최우선 매수호가를 넘어서 증가하는 순간 체결확률은 불연속적으로 점프한다. 이는 주문 queue 상에서 뒷자리가 아닌 가장 앞자리에 서게 되면서 체결확률이 갑자기 증가하기 때문이다.
  4. 매수 지정가가 최우선 매수호가를 넘어서 최우선 매도호가에 이르기까지 체결확률의 증가율은 감소한다. 이는 다른 트레이더가 내가 낸 매수 주문 앞에 다시 새로운 주문을 내게 될 확률이 감소하기 때문이다.
  5. 매수 지정가가 최우선 매도호가에 수렴하여도 체결확률은 1보다 적은 값으로 수렴한다. 이는 최우선 매도호가가 compound Poisson process를 따른 다는 가정하에 발생하며 Wiener process를 따르는 경우에는 1로 수렴한다. 따라서 매수 지정가는 최우선 매도호가에서 불연속적으로 1로 점프한다.

주문 요청 전략 모형

주문 주도형 시장에서 매수 주문자가 취할 수 있는 매매 전략은 지정가 주문의 호가 결정이다. CMSW는 지정 주문 호가에 따른 효용성을 계산하여 가장 효용성이 높은 가격으로 지정가 주문을 낼 것이라고 가정하였다. 만일 가장 효용성이 높은 가격이 최우선 매도 가격이라면 시장가 주문을 내게 된다. 일반적으로 효용성은 매수 가격에 반비례하고 체결 확률에 비례한다. 이 두가지를 고려하면 지정가 호가에 따른 효용성 곡선은 아래과 같은 형태가 된다.

  1. 매수 지정가가 최우선 매수호가 아래에서는 이미 나와있는 주문량에 따라 여러가지 형태가 될 수 있다.
  2. 매수 지정가가 최우선 매수호가를 넘어서는 순간 효용성이 불연속적으로 점프하여 증가한다.
  3. 매수 지정가가 최우선 매수호가와 최우선 매도호가 사이에서는 특정 가격에서 최대 효용을 가지는 concave한 곡선의 형태가 된다.
  4. 매수 지정가가 최우선 매도호가를 넘어서는 순간 효용성이 불연속적으로 점프하여 증가한다.
  5. 매수 지정가가 최우선 매도호가 이상에서는 효용성이 연속적으로 감소한다.

최종 결정은 최우선 매수호가와 최우선 매도호가 사이에서 발생하는 최대효용성 $U(P_1)$ 과 최우선 매도호가에서 발생하는 최대효용성 $U(P_2)$ 중 어느것이 크냐는 것에 의존한다. 만일 최우선 매수호가와 최우선 매도호가 사이에서 발생하는 최대효용성이 더 크다면 $P_1$ 가격으로 지정가 주문을 낼 것이고 최우선 매도호가에서 발생하는 최대효용성이 더 크다면 시장가 주문을 낼 것이다.

어느 경우가 되었든 $P_1 \neq P_2$ 이므로 $P_2 - P_1$ 만큼의 호가 스프레드가 발생하게 된다.